นิพจน์พีชคณิตคืออะไร? »นิยามและความหมาย

การรวมกันของตัวอักษรเครื่องหมายและตัวเลขในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เรียกว่านิพจน์พีชคณิต โดยปกติตัวอักษรแทนปริมาณที่ไม่รู้จักและได้รับการเรียกว่าตัวแปรหรือไม่ทราบนิพจน์พีชคณิตอนุญาตให้แปลนิพจน์ของภาษาทางคณิตศาสตร์ของภาษาธรรมดาได้ นิพจน์พีชคณิตเกิดจากภาระผูกพันในการแปลค่าที่ไม่รู้จักเป็นตัวเลขที่แสดงด้วยตัวอักษร สาขาคณิตศาสตร์ที่รับผิดชอบในการศึกษานิพจน์เหล่านี้ซึ่งมีตัวเลขและตัวอักษรปรากฏขึ้นตลอดจนสัญญาณของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือพีชคณิต

นิพจน์พีชคณิตคืออะไร

สารบัญ

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้การดำเนินการเหล่านี้ไม่มีอะไรมากไปกว่าการรวมกันของตัวอักษรตัวเลขและเครื่องหมายที่ใช้ในภายหลังในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน ในนิพจน์พีชคณิตตัวอักษรมีลักษณะการทำงานของตัวเลขและเมื่อใช้หลักสูตรนั้นจะใช้ตัวอักษรหนึ่งถึงสอง

ไม่ว่าคุณจะมีนิพจน์ใดสิ่งแรกที่ต้องทำคือทำให้ง่ายขึ้นซึ่งทำได้โดยใช้คุณสมบัติของการดำเนินการซึ่งเทียบเท่ากับคุณสมบัติที่เป็นตัวเลข ในการหาค่าตัวเลขของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตตัวอักษรจะต้องถูกแทนที่ด้วยตัวเลขที่แน่นอน

แบบฝึกหัดเหล่านี้สามารถทำได้หลายแบบและจะทำในส่วนนี้เพื่อปรับปรุงความเข้าใจในเรื่องที่เป็นปัญหา

ตัวอย่างนิพจน์พีชคณิต:

• (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)

  X + 5 + 4X + 5 / X + 2

  5X + 10 / X + 2

  5 (X + 2) / X + 2

  5

• (3 / X + 1) - (1 / X + 2)

  3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)

  2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2

ภาษาพีชคณิต

ภาษาพีชคณิตเป็นภาษาที่ใช้สัญลักษณ์และตัวอักษรเพื่อแสดงตัวเลข หน้าที่หลักของมันคือการสร้างและจัดโครงสร้างภาษาที่ช่วยในการสรุปการดำเนินการต่างๆที่เกิดขึ้นภายในวิชาเลขคณิตซึ่งมีเพียงตัวเลขและการคำนวณทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน (+ -x%) เท่านั้นที่เกิดขึ้น

ภาษาพีชคณิตมีจุดมุ่งหมายเพื่อสร้างและออกแบบภาษาที่ช่วยในการสรุปการดำเนินการต่างๆที่พัฒนาขึ้นภายในวิชาเลขคณิตโดยใช้เฉพาะตัวเลขและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานเท่านั้น: การบวก (+) การลบ (-) การคูณ (x) และการหาร (/)

ภาษาพีชคณิตมีความแม่นยำเนื่องจากเป็นภาษาที่เป็นรูปธรรมมากกว่าภาษาตัวเลข ด้วยวิธีนี้สามารถแสดงประโยคสั้น ๆ ตัวอย่าง: เซตของการทวีคูณของ 3 คือ (3, 6, 9, 12…) แสดงเป็น 3n โดยที่ n = (1, 2, 3, 4…)

ช่วยให้คุณสามารถแสดงตัวเลขที่ไม่รู้จักและดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับพวกเขา ตัวอย่างผลรวมของตัวเลขสองตัวจะแสดงดังนี้ a + b รองรับการแสดงออกของคุณสมบัติและความสัมพันธ์เชิงตัวเลขทั่วไป

ตัวอย่าง: คุณสมบัติการสับเปลี่ยนจะแสดงดังนี้: axb = bx a เมื่อเขียนโดยใช้ภาษานี้ปริมาณที่ไม่รู้จักสามารถจัดการได้ด้วยสัญลักษณ์ง่ายๆในการเขียนทำให้สามารถทำให้ทฤษฎีง่ายขึ้นการกำหนดสมการและอสมการและการศึกษาวิธีแก้ปัญหา

เครื่องหมายและสัญลักษณ์เกี่ยวกับพีชคณิต

ในพีชคณิตสัญลักษณ์และเครื่องหมายทั้งสองถูกใช้ในทฤษฎีเซตและสิ่งเหล่านี้ประกอบหรือแสดงถึงสมการอนุกรมเมทริกซ์ ฯลฯ ตัวอักษรแสดงหรือเรียกว่าเป็นตัวแปรเนื่องจากใช้ตัวอักษรเดียวกันในปัญหาอื่น ๆ และค่าของมันจะพบตัวแปรที่แตกต่างกัน ในบรรดานิพจน์พีชคณิตการจำแนกประเภทมีดังต่อไปนี้:

เศษส่วนพีชคณิต

เศษส่วนทางพีชคณิตเรียกว่าเศษส่วนที่แทนด้วยผลหารของพหุนามสองตัวที่แสดงพฤติกรรมคล้ายกับเศษส่วนที่เป็นตัวเลข ในวิชาคณิตศาสตร์คุณสามารถทำงานกับเศษส่วนเหล่านี้ได้โดยการคูณและการหาร ดังนั้นจึงต้องแสดงว่าเศษส่วนพีชคณิตแสดงด้วยผลหารของนิพจน์พีชคณิตสองรายการโดยที่ตัวเศษคือเงินปันผลและตัวส่วนเป็นตัวหาร

ในคุณสมบัติของเศษส่วนพีชคณิตสามารถเน้นได้ว่าถ้าตัวส่วนถูกหารหรือคูณด้วยปริมาณที่ไม่ใช่ศูนย์เท่ากันเศษส่วนจะไม่ถูกเปลี่ยนแปลง การทำให้เข้าใจง่ายของเศษส่วนเชิงพีชคณิตประกอบด้วยการแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถลดได้อีกต่อไปโดยจำเป็นต้องแยกตัวประกอบของพหุนามที่ประกอบเป็นตัวเศษและตัวส่วน

นิพจน์พีชคณิตการจำแนกประเภทจะแสดงในประเภทต่อไปนี้: เทียบเท่าง่ายถูกต้องไม่เหมาะสมประกอบด้วยตัวเศษหรือตัวหารว่าง จากนั้นเราจะเห็นแต่ละคน

เทียบเท่า

คุณกำลังหันหน้าไปทางนี้เมื่อผลคูณไขว้เหมือนกันนั่นคือเมื่อผลของเศษส่วนเท่ากัน ตัวอย่างเช่นเศษส่วนพีชคณิตทั้งสองนี้: 2/5 และ 4/10 จะเท่ากันถ้า 2 * 10 = 5 * 4

เรียบง่าย

เป็นจำนวนเต็มซึ่งตัวเศษและตัวส่วนแทนนิพจน์เชิงเหตุผลจำนวนเต็ม

เป็นเจ้าของ

พวกมันเป็นเศษส่วนอย่างง่ายซึ่งตัวเศษมีค่าน้อยกว่าตัวส่วน

ไม่เหมาะสม

พวกมันเป็นเศษส่วนอย่างง่ายซึ่งตัวเศษมีค่าเท่ากับหรือมากกว่าตัวส่วน

คอมโพสิต

พวกมันถูกสร้างขึ้นจากเศษส่วนอย่างน้อยหนึ่งตัวที่สามารถอยู่ในตัวเศษตัวส่วนหรือทั้งสองอย่าง

ตัวเศษหรือตัวหาร

เกิดขึ้นเมื่อค่าเป็น 0 ในกรณีที่มีเศษส่วน 0/0 จะไม่แน่นอน เมื่อใช้เศษส่วนเชิงพีชคณิตเพื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต้องคำนึงถึงลักษณะบางอย่างของการดำเนินการกับเศษส่วนที่เป็นตัวเลขตัวอย่างเช่นในการเริ่มต้นตัวคูณร่วมน้อยที่สุดจะต้องพบเมื่อตัวส่วนมีจำนวนหลักต่างกัน

ทั้งในการหารและการคูณการดำเนินการจะดำเนินการและดำเนินการเช่นเดียวกับเศษส่วนตัวเลขเนื่องจากก่อนหน้านี้จะต้องทำให้ง่ายขึ้นทุกครั้งที่ทำได้

โมโนเมียล

Monomials เป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่ใช้กันอย่างแพร่หลายซึ่งมีค่าคงที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์และส่วนตามตัวอักษรซึ่งแสดงด้วยตัวอักษรและสามารถยกระดับให้มีอำนาจต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น monomial 2x²มี 2 เป็นค่าสัมประสิทธิ์และx²คือส่วนที่แท้จริง

ในหลาย ๆ ครั้งส่วนที่เป็นตัวอักษรสามารถประกอบขึ้นจากการคูณของสิ่งที่ไม่รู้จักตัวอย่างเช่นในกรณีของ 2xy ตัวอักษรเหล่านี้แต่ละตัวเรียกว่าไม่แน่นอนหรือตัวแปร monomial คือประเภทของพหุนามที่มีระยะเวลาเดียวในนอกจากนี้ยังมีความเป็นไปได้ของการอยู่ในด้านหน้าของที่คล้ายกัน monomials

องค์ประกอบของ monomials

กำหนดโมโนเมียล 5x ^ 3; องค์ประกอบต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

• ค่าสัมประสิทธิ์: 5
• ส่วนที่เป็นตัวอักษร: x ^ 3

ผลคูณของโมโนเมียลคือสัมประสิทธิ์ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ปรากฏโดยการคูณส่วนที่แท้จริง มันมักจะวางไว้ที่จุดเริ่มต้น หากผลคูณของโมโนเมียลมีค่า 1 จะไม่ถูกเขียนและไม่มีวันเป็นศูนย์เนื่องจากนิพจน์ทั้งหมดจะมีค่าเป็นศูนย์ หากมีบางสิ่งที่คุณควรรู้เกี่ยวกับการออกกำลังกายแบบโมโนเมียลนั่นคือ:

• ถ้าโมโนเมียลขาดค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากับหนึ่ง
• ถ้าศัพท์ใดไม่มีเลขชี้กำลังจะเท่ากับหนึ่ง
• หากไม่มีส่วนที่เป็นตัวอักษรใด ๆแต่จำเป็นจะพิจารณาด้วยเลขชี้กำลังเป็นศูนย์
• หากไม่มีข้อตกลงร่วมกันแสดงว่าคุณไม่ได้เผชิญกับแบบฝึกหัดเชิงเดี่ยวคุณสามารถพูดได้ว่ามีกฎเดียวกันกับแบบฝึกหัดระหว่างพหุนามและอักษรเดียว

การบวกและการลบโมโนเมียล

เพื่อให้สามารถหาผลรวมระหว่างโมโนเมียลเชิงเส้นสองตัวได้จำเป็นต้องเก็บส่วนเชิงเส้นไว้และเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์ ในการลบของโมโนเมียลเชิงเส้นสองตัวต้องเก็บส่วนเชิงเส้นไว้เช่นเดียวกับผลรวมเพื่อให้สามารถลบค่าสัมประสิทธิ์จากนั้นสัมประสิทธิ์จะถูกคูณและเลขชี้กำลังจะถูกเพิ่มด้วยฐานเดียวกัน

การคูณโมโนเมียล

มันเป็นโมโนเมียลที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นผลคูณหรือผลของสัมประสิทธิ์ซึ่งมีส่วนที่แท้จริงที่ได้รับจากการคูณของอำนาจที่มีฐานเดียวกัน

การหารโมโนเมียล

มันไม่มีอะไรมากไปกว่าโมโนเมียลอื่นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นผลหารของสัมประสิทธิ์ที่ได้รับนอกจากนี้ยังมีส่วนที่เป็นตัวอักษรที่ได้จากการหารระหว่างพลังที่มีฐานเดียวกัน

พหุนาม

เมื่อเราพูดถึงพหุนามเราอ้างถึงการดำเนินการทางพีชคณิตของการบวกการลบและการคูณตามลำดับที่ทำจากตัวแปรค่าคงที่และเลขชี้กำลัง ในพีชคณิตพหุนามสามารถมีได้มากกว่าหนึ่งตัวแปร (x, y, z) ค่าคงที่ (จำนวนเต็มหรือเศษส่วน) และเลขชี้กำลัง (ซึ่งสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น)

พหุนามประกอบด้วยเงื่อนไขที่ จำกัด แต่ละคำคือนิพจน์ที่มีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งในสามองค์ประกอบที่สร้างขึ้น ได้แก่ ตัวแปรค่าคงที่หรือเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 9, 9x, 9xy เป็นคำศัพท์ทั้งหมด อีกวิธีหนึ่งในการระบุคำศัพท์คือคั่นด้วยการบวกและการลบ

ในการแก้ทำให้ง่ายขึ้นเพิ่มหรือลบพหุนามคุณต้องรวมคำที่มีตัวแปรเดียวกันกับตัวอย่างเช่นคำที่มี x คำที่มี "y" และคำที่ไม่มีตัวแปร นอกจากนี้สิ่งสำคัญคือต้องดูเครื่องหมายก่อนคำศัพท์ที่จะกำหนดว่าจะบวกลบหรือคูณ คำศัพท์ที่มีตัวแปรเดียวกันจะถูกจัดกลุ่มเพิ่มหรือลบ

ประเภทของพหุนาม

จำนวนคำศัพท์ที่พหุนามมีอยู่จะบ่งบอกว่าเป็นพหุนามประเภทใดเช่นหากมีพหุนามระยะเดียวก็แสดงว่าเป็นโมโนเมียล ตัวอย่างที่ชัดเจนคือหนึ่งในแบบฝึกหัดพหุนาม (8xy) นอกจากนี้ยังมีพหุนามสองระยะซึ่งเรียกว่าทวินามและถูกระบุโดยตัวอย่างต่อไปนี้: 8xy - 2y

ในที่สุดพหุนามของคำศัพท์สามคำซึ่งเรียกว่า trinomials และถูกระบุโดยหนึ่งในแบบฝึกหัดพหุนาม 8xy - 2y + 4 Trinomials เป็นนิพจน์พีชคณิตประเภทหนึ่งที่เกิดจากผลรวมหรือผลต่างของสามพจน์หรือ โมโนเมียล (โมโนเมียลที่คล้ายกัน)

สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงระดับของพหุนามเพราะถ้าเป็นตัวแปรเดียวจะเป็นเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุด ระดับของพหุนามที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวจะถูกกำหนดโดยคำที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุด

การบวกและการลบของพหุนาม

เพิ่มมีหลายชื่อที่เกี่ยวข้องกับการรวมเงื่อนไขคำที่คล้ายกันหมายถึง monomials ที่มีตัวแปรเดียวกันหรือตัวแปรยกกำลังเท่ากัน

มีหลายวิธีในการคำนวณพหุนามรวมถึงผลรวมของพหุนามซึ่งสามารถทำได้สองวิธี: แนวนอนและแนวตั้ง

• การเพิ่มพหุนามในแนวนอน: ใช้เพื่อดำเนินการในแนวนอนเพื่อความซ้ำซ้อน แต่ก่อนอื่นจะมีการเขียนพหุนามจากนั้นจึงตามด้วยบรรทัดเดียวกัน หลังจากนี้พหุนามอื่น ๆ ที่จะถูกเพิ่มหรือลบจะถูกเขียนและสุดท้ายคำที่คล้ายกันจะถูกจัดกลุ่ม
• ผลรวมแนวตั้งของพหุนาม: ทำได้โดยการเขียนพหุนามตัวแรกตามลำดับ หากไม่สมบูรณ์สิ่งสำคัญคือต้องเว้นช่องว่างของข้อกำหนดที่ขาดหายไป จากนั้นพหุนามถัดไปจะถูกเขียนไว้ด้านล่างค่าก่อนหน้าด้วยวิธีนี้คำที่คล้ายกับด้านบนจะอยู่ด้านล่าง ในที่สุดแต่ละคอลัมน์จะถูกเพิ่ม

สิ่งสำคัญคือต้องเพิ่มว่าในการเพิ่มพหุนามสองตัวจะต้องเพิ่มสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขที่มีระดับเดียวกัน ผลของการบวกสองเทอมที่มีดีกรีเดียวกันคืออีกเทอมที่มีดีกรีเดียวกัน หากคำศัพท์ใดหายไปจากองศาใด ๆ ก็สามารถเติมด้วย 0 ได้และโดยทั่วไปจะเรียงลำดับจากระดับสูงสุดไปต่ำสุด

ดังที่ได้กล่าวมาแล้วในการหาผลรวมของพหุนามสองค่าจำเป็นต้องเพิ่มเงื่อนไขที่มีระดับเดียวกันเท่านั้น คุณสมบัติของการดำเนินการนี้ประกอบด้วย:

• คุณสมบัติการเชื่อมโยง: ซึ่งผลรวมของพหุนามสองตัวถูกแก้ไขโดยการเพิ่มสัมประสิทธิ์ที่มาพร้อมกับ x ที่เพิ่มขึ้นเป็นกำลังเดียวกัน
• คุณสมบัติการสับเปลี่ยน: ซึ่งเปลี่ยนแปลงลำดับของการเพิ่มและไม่สามารถอนุมานผลลัพธ์ได้ องค์ประกอบที่เป็นกลางซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับ 0 เมื่อเพิ่มพหุนามเข้าไปในองค์ประกอบที่เป็นกลางผลลัพธ์จะเท่ากับค่าแรก
• คุณสมบัติตรงข้าม: เกิดจากพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ผกผันทั้งหมดของสัมประสิทธิ์พหุนามรวม ดังนั้นเมื่อดำเนินการเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนามโมฆะ

เกี่ยวกับการลบพหุนาม (การดำเนินการกับพหุนาม) มีความจำเป็นที่จะต้องจัดกลุ่มโมโนเมียลตามลักษณะที่มีและเริ่มต้นด้วยการทำให้เข้าใจง่ายของสิ่งที่คล้ายคลึงกัน การดำเนินการกับพหุนามจะดำเนินการโดยการเพิ่มสิ่งที่ตรงข้ามกับการลบลงในตัวย่อ

อีกวิธีหนึ่งที่มีประสิทธิภาพในการลบพหุนามคือการเขียนสิ่งที่ตรงกันข้ามกับพหุนามแต่ละตัวด้านล่างอีกวิธีหนึ่ง ดังนั้น monomials ที่คล้ายกันยังคงอยู่ในคอลัมน์และเราจะดำเนินการเพิ่ม ไม่ว่าจะใช้เทคนิคอะไรท้ายที่สุดผลลัพธ์ก็จะเหมือนเดิมแน่นอนหากทำอย่างถูกต้อง

การคูณพหุนาม

การคูณโมโนเมียลหรือแบบฝึกหัดระหว่างพหุนามและโมโนเมียลเป็นการดำเนินการเพื่อค้นหาผลลัพธ์ที่ได้ระหว่างโมโนเมียล (นิพจน์พีชคณิตขึ้นอยู่กับการคูณของจำนวนและตัวอักษรที่ยกขึ้นเป็นเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวก) และอีกตัวหนึ่ง นิพจน์ถ้านี่เป็นศัพท์อิสระคำเดียวอื่นหรือแม้แต่พหุนาม (ผลรวม จำกัด ของโมโนเมียลและศัพท์อิสระ)

อย่างไรก็ตามเช่นเดียวกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดการคูณของพหุนามยังมีขั้นตอนที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อแก้การดำเนินการที่เสนอซึ่งสามารถสรุปได้ในขั้นตอนต่อไปนี้:

สิ่งแรกที่ต้องทำคือคูณ monomial ด้วยนิพจน์ (คูณเครื่องหมายของแต่ละคำศัพท์) หลังจากนี้ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกคูณและเมื่อพบค่าในการดำเนินการนั้นจะมีการเพิ่มลิเทอรัลของโมโนเมียลที่พบในเงื่อนไข จากนั้นผลลัพธ์แต่ละรายการจะถูกเขียนลงตามลำดับตัวอักษรและสุดท้ายจะมีการเพิ่มเลขชี้กำลังแต่ละตัวซึ่งอยู่ในตัวอักษรฐาน

กองพหุนาม

นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันเป็นวิธีการ Ruffiniช่วยให้เราแบ่งพหุนามด้วยทวินามและยังช่วยให้เราสามารถหารากของพหุนามเพื่อแยกตัวประกอบออกเป็นทวินาม กล่าวอีกนัยหนึ่งเทคนิคนี้ทำให้สามารถแบ่งหรือสลายพหุนามพีชคณิตของดีกรี n เป็นทวินามเกี่ยวกับพีชคณิตจากนั้นเป็นพหุนามพีชคณิตอื่นที่มีดีกรี n-1 และเพื่อให้สิ่งนี้เป็นไปได้จำเป็นที่จะต้องรู้หรือรู้รากศัพท์ของพหุนามเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งรากเพื่อให้การแยกมีความแน่นอน

มันเป็นเทคนิคที่มีประสิทธิภาพที่จะแบ่งพหุนามโดยทวินามของรูปแบบเอ็กซ์ - R กฎของรัฟฟินีเป็นกรณีพิเศษของการหารสังเคราะห์เมื่อตัวหารเป็นตัวประกอบเชิงเส้น วิธีการของ Ruffini ได้รับการอธิบายโดยนักคณิตศาสตร์ศาสตราจารย์และแพทย์ชาวอิตาลี Paolo Ruffini ในปี 1804 ซึ่งนอกเหนือจากการคิดค้นวิธีการที่มีชื่อเสียงที่เรียกว่ากฎของ Ruffini ซึ่งช่วยในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของผลลัพธ์ของการแยกส่วนของพหุนามโดย ทวินาม; เขายังค้นพบและกำหนดเทคนิคนี้ในการคำนวณรากของสมการโดยประมาณ

เช่นเคยเมื่อพูดถึงการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต Ruffini's Rule เกี่ยวข้องกับชุดของขั้นตอนที่ต้องปฏิบัติเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการในกรณีนี้: ค้นหาผลหารและเศษที่เหลืออยู่ในการหารของพหุนามประเภทใด ๆ และ a ทวินามของรูปแบบ x + r

ในตอนแรกเมื่อเริ่มต้นการดำเนินการนิพจน์จะต้องได้รับการตรวจสอบเพื่อตรวจสอบหรือพิจารณาว่านิพจน์เหล่านั้นได้รับการปฏิบัติเป็นพหุนามและทวินามจริงที่ตอบสนองต่อรูปแบบที่คาดไว้โดยวิธีการ Ruffini

เมื่อตรวจสอบขั้นตอนเหล่านี้แล้วระบบจะเรียงลำดับพหุนาม (ตามลำดับจากมากไปหาน้อย) เมื่อขั้นตอนนี้เสร็จสิ้นจะมีการพิจารณาเฉพาะสัมประสิทธิ์ของคำศัพท์พหุนามเท่านั้น (ขึ้นอยู่กับคำที่เป็นอิสระ) โดยวางเรียงเป็นแถวจากซ้ายไปขวา ช่องว่างบางส่วนเหลือไว้สำหรับคำศัพท์ที่จำเป็น (เฉพาะในกรณีของพหุนามที่ไม่สมบูรณ์) เครื่องหมายห้องครัวจะอยู่ทางด้านซ้ายของแถวซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของพหุนามเงินปันผล

ในส่วนด้านซ้ายของแกลเลอรีเราจะวางระยะอิสระของทวินามซึ่งตอนนี้เป็นตัวหารและเครื่องหมายของมันเป็นผกผัน ค่าอิสระจะถูกคูณด้วยสัมประสิทธิ์แรกของพหุนามดังนั้นการลงทะเบียนในแถวที่สองด้านล่างอันแรก จากนั้นสัมประสิทธิ์ที่สองและผลคูณของระยะโมโนเมียลอิสระจะถูกลบด้วยสัมประสิทธิ์แรก

ระยะอิสระของทวินามคูณด้วยผลลัพธ์ของการลบก่อนหน้านี้ แต่นอกจากนี้ยังวางไว้ในแถวที่สองซึ่งสอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์ที่สี่ การดำเนินการซ้ำจนกว่าจะถึงเงื่อนไขทั้งหมด แถวที่สามที่ได้รับจากการคูณเหล่านี้จะถือเป็นผลหารยกเว้นพจน์สุดท้ายซึ่งจะถือเป็นส่วนที่เหลือของการหาร

ผลลัพธ์จะถูกแสดงออกมาพร้อมกับค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรแต่ละตัวและระดับที่สอดคล้องกับค่านั้นโดยเริ่มแสดงด้วยระดับที่ต่ำกว่าที่มีอยู่เดิม

• ทฤษฎีบทที่เหลือ: มันเป็นวิธีการปฏิบัติที่ใช้ในการแบ่งพหุนาม P (x) โดยมีรูปแบบอื่นเป็น XA; ซึ่งจะได้รับเฉพาะมูลค่าของส่วนที่เหลือเท่านั้น ในการใช้กฎนี้ให้ปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้ การปันผลพหุนามถูกเขียนขึ้นโดยไม่ต้องกรอกหรือเรียงลำดับจากนั้นตัวแปร x ของการปันผลจะถูกแทนที่ด้วยค่าตรงข้ามของระยะอิสระของตัวหาร และสุดท้ายการดำเนินการจะถูกแก้ไขร่วมกัน

  ทฤษฎีบทเศษเหลือเป็นวิธีการที่เราสามารถหาส่วนที่เหลือของการหารพีชคณิตได้แต่ไม่จำเป็นต้องทำการหารใด ๆ

สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถหาส่วนที่เหลือของการหารของพหุนาม p (x) ด้วยรูปแบบอื่น xa จากทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามที่พหุนาม p (x) หารด้วย xa ก็ต่อเมื่อ a เป็นรูทของพหุนามเท่านั้นถ้า p (a) = 0 เท่านั้นถ้า C (x) เป็นผลหารและ R (x) คือส่วนที่เหลือของการหารของพหุนาม p (x) โดยทวินามซึ่งจะเป็น (xa) ค่าตัวเลขของ p (x) สำหรับ x = a จะเท่ากับส่วนที่เหลือของการหารด้วย xa

จากนั้นเราจะพูดว่า: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a) โดยทั่วไปเพื่อให้ได้ส่วนที่เหลือของการหารด้วย Xa การใช้กฎของ Ruffini จะสะดวกกว่าการแทนที่ x ดังนั้นทฤษฎีบทที่เหลือจึงเป็นวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการแก้ปัญหา

• วิธีการของ Ruffini: วิธีการหรือกฎของ Ruffiniเป็นวิธีการที่ช่วยให้เราสามารถแบ่งพหุนามด้วยทวินามและยังช่วยให้เราสามารถหารากของพหุนามเพื่อแยกตัวประกอบในทวินาม กล่าวอีกนัยหนึ่งเทคนิคนี้ทำให้สามารถแบ่งหรือสลายพหุนามพีชคณิตของดีกรี n เป็นทวินามพีชคณิตจากนั้นเป็นพหุนามพีชคณิตอื่นที่มีดีกรี n-1 และเพื่อให้สิ่งนี้เป็นไปได้จำเป็นต้องรู้หรือรู้รากศัพท์ของพหุนามเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งรากเพื่อให้การแยกมีความแน่นอน

ในโลกคณิตศาสตร์กฎของรัฟฟินีเป็นเทคนิคที่มีประสิทธิภาพในการหารพหุนามด้วยทวินามของรูปแบบ x - r กฎของรัฟฟินีเป็นกรณีพิเศษของการหารสังเคราะห์เมื่อตัวหารเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

วิธีการของ Ruffini ได้รับการอธิบายโดยนักคณิตศาสตร์ศาสตราจารย์และแพทย์ชาวอิตาลี Paolo Ruffiniในปีพ. ศ. ทวินาม; เขายังค้นพบและกำหนดเทคนิคนี้ในการคำนวณรากของสมการโดยประมาณ

• รากพหุนาม: รากของพหุนามคือจำนวนหนึ่งที่ทำให้พหุนามมีค่าเป็นศูนย์ เรายังสามารถพูดได้ว่ารากที่สมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์พหุนามจำนวนเต็มจะเป็นตัวหารของเทอมอิสระเมื่อเราแก้พหุนามที่เท่ากับศูนย์เราจะได้รากของพหุนามเป็นคำตอบ ในฐานะที่เป็นคุณสมบัติของรากและปัจจัยของพหุนามเราสามารถพูดได้ว่าเลขศูนย์หรือรากของพหุนามนั้นมาจากตัวหารของระยะอิสระที่เป็นของพหุนาม

จากนั้นสำหรับแต่ละรูทตัวอย่างเช่นชนิด x = a สอดคล้องกับทวินามของประเภท (xa) เป็นไปได้ที่จะแสดงพหุนามในปัจจัยถ้าเราแสดงเป็นผลคูณหรือของทวินามทั้งหมดของชนิด (xa) ที่สอดคล้องกับราก x = a ผลลัพธ์นั้น ควรคำนึงว่าผลรวมของเลขชี้กำลังของทวินามมีค่าเท่ากับระดับของพหุนามควรคำนึงถึงว่าพหุนามใด ๆ ที่ไม่มีคำศัพท์อิสระจะยอมรับเป็นรูท x = 0 ในอีกทางหนึ่งก็จะยอมรับว่า เอ็กซ์แฟคเตอร์

เราจะเรียกพหุนาม "นายก" หรือ "ลดลง" เมื่อมีความเป็นไปได้ของแฟมันไม่มี

ในการเจาะลึกเรื่องนี้เราต้องมีความชัดเจนเกี่ยวกับทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตซึ่งระบุว่าเพียงพอแล้วที่พหุนามในตัวแปรที่ไม่คงที่และสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนจะมีรากมากพอ ๆ กับระดับของมันเนื่องจากรากมีความหลายหลาก นี่เป็นการยืนยันว่าสมการพีชคณิตขององศา n มีคำตอบที่ซับซ้อน n พหุนามของ n ปริญญามีสูงสุดของ n รากจริง

ตัวอย่างและแบบฝึกหัด

ในส่วนนี้เราจะจัดทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับพีชคณิตที่มีการแก้ไขของแต่ละหัวข้อที่กล่าวถึงในโพสต์

แบบฝึกหัดเกี่ยวกับพีชคณิต:

• X ^ 2 - 9 / 2X + 6

  (X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)

  X - 3/2

• X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1

  (X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)

  X + 1 / X - 1

ผลรวมของพหุนาม

• 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
• P (x) = 2 × 2 + 5x-6

  Q (x) = 3 × 2-6x + 3

  P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3

การลบพหุนาม

P (x) = 2 × 2 + 5x-6

Q (x) = 3 × 2-6x + 3

P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9

กองพหุนาม

• 8 ก / 2 ก = (8/2). (A / a) = 4
• 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 และ
• 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
• -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v

นิพจน์พีชคณิต (ทวินามกำลังสอง)

(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9

(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9

ทฤษฎีบทที่เหลือ

(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)

R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

การคูณโมโนเมียล

axnbxm = (ab) xn + m

(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³

4x · (3x²y) = 12x³y

การหารโมโนเมียล

8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4

15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 และ

12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6

-6 v2 ค. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v

การบวกและการลบโมโนเมียล

การออกกำลังกาย: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2

วิธีแก้ปัญหา: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5-2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับนิพจน์พีชคณิต

นิพจน์พีชคณิตคืออะไร?

พวกเขาคือการรวมกันของตัวเลขและตัวอักษรที่ผันโดยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน

การดำเนินการที่ดำเนินการกับพหุนามคืออะไร?

การบวกการลบการคูณและการหาร

ค่าตัวเลขของนิพจน์พีชคณิตคืออะไร?

เป็นตัวเลขที่ได้จากการแทนที่ตัวเลขไม่รู้จักหรือตัวอักษรในการดำเนินการ

กำลังสองของทวินามแก้ไขได้อย่างไร?

ทวินามกำลังสองเท่ากับกำลังสองของเทอมแรกบวกผลคูณสองของเทอมแรกด้วยพจน์ที่สองแล้วบวกกำลังสองของเทอมที่สอง

วิธีระบุ monomial และ polynomial?

โมโนเมียลถูกระบุเนื่องจากเป็นผลคูณของตัวแปรและตัวเลขแทนโพลิโนเมียลคือผลรวมของโมโนเมียล