สมการคืออะไร? »นิยามและความหมาย

สมการเรียกว่าความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ระหว่างสองนิพจน์ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบที่แตกต่างกันทั้งที่รู้จัก (ข้อมูล) และไม่ทราบ (ไม่ทราบ) ซึ่งเกี่ยวข้องกันผ่านการดำเนินการเชิงตัวเลขทางคณิตศาสตร์ โดยทั่วไปข้อมูลจะแสดงด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปรตัวเลขและค่าคงที่ในขณะที่ค่าที่ไม่ทราบจะระบุด้วยตัวอักษรและแทนค่าที่คุณต้องการถอดรหัสผ่านสมการ มีการใช้สมการกันอย่างแพร่หลายโดยส่วนใหญ่จะแสดงรูปแบบที่แน่นอนที่สุดของกฎทางคณิตศาสตร์หรือทางกายภาพซึ่งแสดงถึงตัวแปร

สมการคืออะไร

สารบัญ

คำนี้มาจากภาษาละติน "aequatio"ซึ่งมีความหมายถึงการทำให้เท่าเทียมกัน แบบฝึกหัดนี้เป็นความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ระหว่างสองนิพจน์ซึ่งเรียกว่าสมาชิก แต่คั่นด้วยเครื่องหมาย (=) ในสิ่งเหล่านี้มีองค์ประกอบที่ทราบและข้อมูลบางส่วนหรือไม่ทราบที่เกี่ยวข้องผ่านการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ค่าคือตัวเลขค่าคงที่หรือค่าสัมประสิทธิ์แม้ว่าจะเป็นวัตถุเช่นเวกเตอร์หรือตัวแปรได้

องค์ประกอบหรือสิ่งที่ไม่รู้จักสร้างขึ้นผ่านสมการอื่น ๆ แต่ด้วยขั้นตอนการแก้สมการ ระบบของสมการคือการศึกษาและแก้ไขได้โดยวิธีการที่แตกต่างกันในความเป็นจริงเช่นเดียวกันที่เกิดขึ้นกับสมการของเส้นรอบวง

ประวัติสมการ

อารยธรรมอียิปต์เป็นหนึ่งในกลุ่มแรกที่ใช้ข้อมูลทางคณิตศาสตร์เนื่องจากในศตวรรษที่ 16 พวกเขาได้ใช้ระบบนี้เพื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการกระจายของอาหารแม้ว่าจะไม่เรียกว่าสมการ แต่ก็สามารถกล่าวได้ว่าเทียบเท่ากับเวลาปัจจุบัน.

ชาวจีนยังมีความรู้เกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวเนื่องจากในช่วงเริ่มต้นของยุคนั้นพวกเขาเขียนหนังสือที่เสนอวิธีการต่างๆสำหรับการแก้แบบฝึกหัดชั้นสองและชั้นหนึ่ง

ในช่วงยุคกลางสิ่งที่ไม่รู้จักทางคณิตศาสตร์ได้รับการสนับสนุนอย่างมากเนื่องจากถูกใช้เป็นความท้าทายสาธารณะในหมู่นักคณิตศาสตร์ผู้เชี่ยวชาญในยุคนั้น ในศตวรรษที่สิบหกนักคณิตศาสตร์คนสำคัญสองคนได้ค้นพบการใช้ตัวเลขจินตภาพเพื่อแก้ข้อมูลระดับที่สองสามและสี่

นอกจากนี้ในศตวรรษนั้นRene Descartesได้สร้างสัญกรณ์ทางวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงนอกเหนือจากนี้ในขั้นตอนทางประวัติศาสตร์นี้หนึ่งในทฤษฎีคณิตศาสตร์ที่ได้รับความนิยมมากที่สุดก็ถูกเผยแพร่สู่สาธารณะ "ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์"

ในช่วงศตวรรษที่สิบเจ็ดนักวิทยาศาสตร์ก็อตฟรีดไลบนิซและไอแซกนิวตันได้หาวิธีแก้ปัญหาความแตกต่างที่ไม่รู้จักซึ่งก่อให้เกิดการค้นพบชุดหนึ่งที่เกิดขึ้นในช่วงเวลานั้นเกี่ยวกับสมการเฉพาะเหล่านั้น

หลายคนเป็นความพยายามของนักคณิตศาสตร์จนถึงต้นศตวรรษที่ 19 เพื่อค้นหาวิธีแก้สมการของระดับที่ 5 แต่ทั้งหมดเป็นความพยายามที่ล้มเหลวจนกระทั่ง Niels Henrik Abel ค้นพบว่าไม่มีสูตรทั่วไปในการคำนวณระดับที่ห้าเช่นกัน ในช่วงเวลานี้ฟิสิกส์ใช้ข้อมูลที่แตกต่างในอินทิกรัลและสิ่งที่ไม่รู้จักซึ่งทำให้เกิดฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์

ในศตวรรษที่ 20 มีการกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์แรกที่มีฟังก์ชันซับซ้อนที่ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งมีการศึกษาหลากหลายสาขาในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์

นอกจากนี้ควรอ้างอิงถึงสมการ Diracซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาคลื่นสัมพัทธภาพในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งได้รับการกำหนดขึ้นในปีพ. ศ. 2471 โดย Paul Dirac สมการ Dirac สอดคล้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ลักษณะสมการ

แบบฝึกหัดเหล่านี้ยังมีชุดของลักษณะเฉพาะหรือองค์ประกอบในหมู่พวกเขาสมาชิกข้อกำหนดไม่ทราบและวิธีแก้ปัญหา สมาชิกคือนิพจน์ที่อยู่ถัดจากเครื่องหมายเท่ากับ ข้อตกลงที่มี addends ที่เป็นส่วนหนึ่งของสมาชิกในทำนองเดียวกันไม่ทราบหมายถึงตัวอักษรและในที่สุดก็แก้ปัญหาซึ่งหมายถึงค่าที่ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน

ประเภทของสมการ

มีแบบฝึกหัดทางคณิตศาสตร์หลายประเภทที่ได้รับการสอนในระดับการศึกษาที่แตกต่างกันตัวอย่างเช่นสมการของเส้นสมการทางเคมีการสมดุลของสมการหรือระบบสมการที่แตกต่างกันอย่างไรก็ตามสิ่งสำคัญคือต้องกล่าวถึงว่าสิ่งเหล่านี้ถูกจำแนกออกเป็น ข้อมูลเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งอาจเป็นระดับที่หนึ่งสองและสามไดโอแฟนไทน์และเหตุผล

สมการพีชคณิต

มันเป็นการประเมินมูลค่าที่แสดงในรูปแบบของ P (x) = 0 ซึ่ง P (x) เป็นพหุนามที่ไม่ได้เป็นโมฆะ แต่ไม่คงที่และที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มมีระดับ n ≥ 2

Linear: มันคือความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวแปรในกำลังแรกและไม่ต้องการผลคูณระหว่างตัวแปรเหล่านี้
กำลังสอง: มันมีนิพจน์ของax² + bx + c = 0 โดยมี≠ 0 ที่นี่ตัวแปรคือ x, ya, b และ c เป็นค่าคงที่สัมประสิทธิ์กำลังสองคือ a ซึ่งแตกต่างจาก 0 สัมประสิทธิ์เชิงเส้นคือ b และเทอม อิสระคือค.
มีลักษณะเป็นพหุนามที่ตีความผ่านสมการของพาราโบลา
Cubic: ข้อมูลลูกบาศก์ที่ไม่รู้จักจะแสดงในระดับที่สามด้วย a, b, c และ d (a ≠ 0) ซึ่งตัวเลขเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนอย่างไรก็ตามพวกเขายังอ้างถึงตัวเลขที่มีเหตุผล
Biquadratic: เป็นตัวแปรเดียวนิพจน์พีชคณิตระดับที่สี่ที่มีเพียงสามคำเท่านั้น: หนึ่งในระดับ 4 หนึ่งในระดับ 2 และระยะอิสระ ตัวอย่างของการออกกำลังกาย biquad มีดังต่อไปนี้: 3x ^ 4 - 5x ^ 2 + 1 = 0
ได้รับชื่อนี้เนื่องจากพยายามแสดงว่าอะไรเป็นแนวคิดหลักในการกำหนดกลยุทธ์การแก้ปัญหา: สองกำลังสองหมายถึง: "กำลังสองสองเท่า" ถ้าลองคิดดูคำว่า x4 สามารถแสดงเป็น (x 2) ยกกำลัง 2 ซึ่งทำให้เราได้ x4 กล่าวอีกนัยหนึ่งให้จินตนาการว่าคำที่นำหน้าของสิ่งที่ไม่รู้จักคือ 3 × 4 ในทำนองเดียวกันมันถูกต้องที่จะบอกว่าคำนี้สามารถเขียนเป็น 3 (x2) 2 ได้
ไดโอแฟนไทน์: เป็นแบบฝึกหัดเกี่ยวกับพีชคณิตที่มีสองตัวหรือมากกว่านั้นไม่ทราบนอกจากนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของมันยังรวมถึงจำนวนเต็มทั้งหมดที่ต้องหาวิธีแก้ปัญหาธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม นี้จะทำให้ส่วนหนึ่งของกลุ่มตัวเลขทั้งหมดพวกเขา
แบบฝึกหัดเหล่านี้แสดงเป็น ax + by = c พร้อมคุณสมบัติของเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นเพื่อให้ ax + by = c กับ a, b, c ที่เป็นของจำนวนเต็มมีคำตอบ
เหตุผล: พวกมันถูกกำหนดให้เป็นผลหารของพหุนามซึ่งเป็นค่าเดียวกับที่ตัวส่วนมีอย่างน้อย 1 องศา โดยเฉพาะต้องมีตัวแปรแม้แต่ตัวเดียวในตัวส่วน รูปแบบทั่วไปที่แสดงถึงฟังก์ชันที่มีเหตุผลคือ:

ซึ่ง p (x) และ q (x) เป็นพหุนามและ q (x) ≠ 0
สิ่งที่เทียบเท่า: เป็นแบบฝึกหัดที่มีความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ระหว่างนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองรายการเรียกว่าสมาชิกซึ่งองค์ประกอบหรือข้อมูลที่รู้จักปรากฏขึ้นและองค์ประกอบที่ไม่รู้จักหรือไม่รู้จักซึ่งเกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ค่าของสมการจะต้องมีการสร้างขึ้นของตัวเลขค่าสัมประสิทธิ์หรือค่าคงที่; เช่นเดียวกับตัวแปรหรือวัตถุที่ซับซ้อนเช่นเวกเตอร์หรือฟังก์ชันองค์ประกอบใหม่จะต้องถูกสร้างขึ้นโดยสมการอื่นของระบบหรือขั้นตอนการแก้ฟังก์ชันอื่น ๆ

สมการเหนือชั้น

ไม่มีอะไรมากไปกว่าความเท่าเทียมกันระหว่างนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองนิพจน์ที่มีหนึ่งหรือมากกว่านั้นที่ไม่รู้จักซึ่งเกี่ยวข้องกันผ่านการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นพีชคณิตโดยเฉพาะและมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สามารถให้ได้โดยใช้เครื่องมือเฉพาะหรือที่เหมาะสมของพีชคณิต แบบฝึกหัด H (x) = j (x) เรียกว่าวิชชาเมื่อหนึ่งในฟังก์ชัน H (x) หรือ j (x) ไม่ใช่พีชคณิต

สมการเชิงอนุพันธ์

ในนั้นฟังก์ชันจะเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์แต่ละรายการ ฟังก์ชันมักจะแสดงถึงปริมาณทางกายภาพบางอย่างในทางกลับกันอนุพันธ์แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะที่สมการกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างกัน สิ่งหลังมีความสำคัญมากในสาขาอื่น ๆ รวมถึงเคมีชีววิทยาฟิสิกส์วิศวกรรมและเศรษฐศาสตร์

สมการอินทิกรัล

สิ่งที่ไม่รู้จักในฟังก์ชันของข้อมูลนี้ปรากฏโดยตรงในส่วนหนึ่ง แบบฝึกหัดอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียลมีความสัมพันธ์กันมากแม้แต่ปัญหาทางคณิตศาสตร์บางอย่างก็สามารถกำหนดได้ด้วยสองอย่างนี้ตัวอย่างเช่นแบบจำลองความหนืดของแม็กซ์เวลล์

สมการเชิงฟังก์ชัน

มันแสดงออกโดยการรวมฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและตัวแปรอิสระนอกจากนี้ต้องแก้ไขทั้งค่าและนิพจน์ของมัน

สมการของรัฐ

สิ่งเหล่านี้เป็นแบบฝึกหัดที่เป็นส่วนประกอบสำหรับระบบไฮโดรสแตติกที่อธิบายสถานะทั่วไปของการรวมตัวหรือการเพิ่มขึ้นของสสารนอกจากนี้ยังแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรอุณหภูมิความหนาแน่นความดันฟังก์ชันสถานะและพลังงานภายในที่เกี่ยวข้องกับสสาร.

สมการการเคลื่อนที่

เป็นคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายการพัฒนาชั่วคราวของตัวแปรหรือกลุ่มของตัวแปรที่กำหนดสถานะทางกายภาพของระบบโดยมีมิติทางกายภาพอื่น ๆ ที่ส่งเสริมการเปลี่ยนแปลงของระบบ สมการนี้ภายในพลวัตของจุดวัสดุกำหนดตำแหน่งในอนาคตของวัตถุตามตัวแปรอื่น ๆ เช่นมวลความเร็วหรืออื่น ๆ ที่อาจส่งผลต่อการเคลื่อนที่

ตัวอย่างแรกของสมการการเคลื่อนที่ในฟิสิกส์คือกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับระบบทางกายภาพที่ประกอบด้วยอนุภาคและวัสดุจุด

สมการที่เป็นส่วนประกอบ

ไม่มีอะไรมากไปกว่าความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเชิงกลหรือทางอุณหพลศาสตร์ที่มีอยู่ในระบบทางกายภาพนั่นคือเมื่อมีความตึงเครียดความดันการเปลี่ยนรูปปริมาตรอุณหภูมิเอนโทรปีความหนาแน่น ฯลฯ สารทั้งหมดมีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนประกอบที่เฉพาะเจาะจงมากซึ่งขึ้นอยู่กับการจัดระเบียบโมเลกุลภายใน

การแก้สมการ

ในการแก้สมการจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องค้นหาโดเมนโซลูชันนั่นคือเซตหรือกลุ่มของค่าที่ไม่รู้จักซึ่งจะทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง สามารถใช้เครื่องคำนวณสมการได้เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วปัญหาเหล่านี้จะแสดงในแบบฝึกหัดหนึ่งข้อหรือมากกว่านั้น

สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงว่าแบบฝึกหัดเหล่านี้ไม่ได้มีวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดเนื่องจากมีความเป็นไปได้ค่อนข้างมากที่จะไม่มีค่าใดในสิ่งที่ไม่รู้จักที่ตรวจสอบความเท่าเทียมกันที่ได้รับ ในกรณีประเภทนี้คำตอบของแบบฝึกหัดจะว่างเปล่าและแสดงเป็นสมการที่ไม่สามารถแก้ไขได้

ตัวอย่างของสมการ

การเคลื่อนไหว: รถแข่งต้องเดินทางด้วยความเร็วเท่าใดจึงจะเดินทางได้ 50 กม. ในหนึ่งในสี่ของชั่วโมง? เนื่องจากระยะทางแสดงเป็นกิโลเมตรจึงต้องเขียนเวลาเป็นหน่วยชั่วโมงเพื่อให้มีความเร็วเป็นกม. / ชม. เมื่อมีความชัดเจนแล้วเวลาที่การเคลื่อนไหวคงอยู่คือ:

ระยะรถเดินทางคือ:

ซึ่งหมายความว่าความเร็วจะต้อง:

สถานะ: มวลของก๊าซไฮโดรเจนครอบครองปริมาตร 230 ลิตรในถังซึ่งมีความดัน 1.5 บรรยากาศและมีอุณหภูมิ 35 ° C คุณต้องคำนวณว่าคุณมีไฮโดรเจนกี่โมลและจำนวนโมลที่บรรจุอยู่ในถังนั้นมีมวลเท่าใด โดยคำนึงถึงสิ่งเหล่านี้ข้อมูลมีดังนี้: